Geometria piana e solida . Dato /.ABC P qualsiasi punto non in BR, la bisettrice di AabCPD e PE, Js da P a BA e BC rispettivamente. Per dimostrare PD=f^PE. Profilo del tiraggio Di Prova FG l.BA*^ PG. Quindi FE = FG. Ora PF + FG> PG. .*. PE > PG, Ma PG > PD. •*. PE > PD. 255. Prop XLI può essere dichiarato come segue: Ogni punto non nella bisettrice di un angolo non è equidistante dai lati dell'angolo. 256. Cor. I. (Converse of Prop XL). Ogni punto equidistante dai lati di un angolo si trova in tJie bisector dell'angolo. Suggerimento. Dimostrare direttamente, utilizzando la cifra per § 252, o applicare § 137. 257.

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Plane and solid geometry . Given /.ABC P any point not in BR, the bisector of AabCPD and PE, Js from P to BA and BC respectively. To prove PD=f^PE. Outline of Proof Draw FG l.BA*^ draw PG. Then FE = FG. Now PF + FG> PG. .*. PE > PG, But PG > PD. •*. PE > PD. 255. Prop. XLI may be stated as follows: Every point not in the bisector of an angle is not equidistantfrom the sides of the angle. 256. Cor. I. (Converse of Prop. XL). Every point equi-distant from the sides of an angle lies in tJie bisector ofthe angle. Hint. Prove directly, using the figure for § 252, or apply § 137. 257. Cor. II. The bisector of an angle is tlxe locus ofall points equidistant from the sides of the angle. Ex. 328. Wliat is the locus of all points that are equidistant froma pair of intersecting lines ? 100 PLANE GEOMETRY CONCUERENT LINE THEOREMSPROPOsiTioisr XLII. Theorem 258. The. bisectors of the angles of a triangle are corvcurrent in a -point which is equidistant from the threesides of the triangle.. ftiven A ABC with AF, BE, CD the bisectors of A A^ B, andC respectively. To prove: (a) AF, BE, CD concurrent in some point as 0;(5) the point 0 equidistant from AB, BC, and CA. Reasons1. If two str. lines are cut bya transversal making the Argument s 1. BE and CD will intersect atsome point as O. 2. Draw OL, OH, and OG, Js from 0 to AB, BC, and CArespectively. 3. • • O is in BE, OL = OH. 4. ••• Ois in CZ), 0(?=Ofl;6. .-. OL = OG. sum of the two int. A onthe same side of thetransversal not equal to2 rt. A, the lines arenot II. § 194. 2. From a point outside a line there exists one and onlyone ± to the line. § 155. 3. The two Js to the sides of an Z from any point inits bisector are equal.§252. 4. Same reason as 3. 5. Things equal to the same thing are equal to eachother. § 54, 1. BOOK I 101 Argument6. .-. AFy the bisector of /.CAB, passes through 0. 7. .•. AF, BE, and CD are con- current in 0. 8. Also 0 is equidistant from AB, BC, and C^. Q.E.D. Reasons 6. Ever

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