. I principi della geometria proiettiva applicati alla linea retta e al sistema conico. (3) l'aocis radicalico è la direttrice della parabola inscritta, ed è anche la linea di ortocentri del quadrilatero. Si consideri uno dei punti di intersezione di due dei directorcircoli. Il sistema di tangenti alle conie da questo punto forma involucri anortogonali, e quindi i cerchi di direzione di tutti i coniespass attraverso il punto, compresi i cerchi descritti sui diametri diagonalsas e la directrix della parabola inscritta. Il samesi applica al secondo punto di intersezione

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. The principles of projective geometry applied to the straight line and conic . ystem. (3) The radical aocis is the directrix of the inscribed parabola, andis also the line of orthocentres of the quadrilateral. Consider one of the points of intersection of two of the directorcircles. The system of tangents to the conies from this point forms anorthogonal involution, and therefore the director circles of all the coniespass through the point, including the circles described on the diagonalsas diameters and the directrix of the inscribed parabola. The sameapplies to the second point of intersection of the circles. Hence (1), (2) and (3) are true. (4) The self-polar circle of atriangle cuts the director circles ofall conies inscnbed in the triangleorthogonally. Let ABC be the triangle, a, b, cits sides, 0 its orthocentre, and A A, BB, and GC the perpendicularsfrom the vertices on the oppositesides. Then 0 is the centre of thecircle with regard to which thetriangle ABC is self-conjugate and ^~^^~^~~~~^0 OB. OB is equal to the square of its radius. (Example (5) Art. 88.). 224 Principles of Frojective Geo7netry Draw any two straight lines p and q. Describe a conic S to toucha, b, c, p, q and systems of conies to touch a, b, c, p and a, b, c, q. Thepoint 0 is on the radical axis of the director circles of both these systemsand therefore the tangents from 0 to the director circles of both systemsare equal. These must be equal to the tangents from 0 to the directorcircle of S and are therefore all equal. The pair of points A, B constitute a conic inscribed in abc and thecircle described on AB is its director circle. This circle passes throughB. Hence the square of the tangent from 0 to this circle equalsOB. OB. Hence the squares of the tangents from 0 to the directorcircles of all conies inscribed in abc are equal to OB. OB. Thereforethe circle with regard to which the triangle is self-conjugate cuts thedirector circles of all conies inscribed in abc orthogonally. Cor7. This g

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