Piano e solido di geometria analitica; un elementare di un libro di testo . 107. Il rotismo.-La traiettoria descritta da un punto. Fig. 106. 204 Geometria analitica [Ch. XV, § 108 sulla circonferenza di un cerchio che rotola sul lato di un cerchio fisso è chiamato un rotismo. Lasciate che lo studente mostrano che le equazioni dell'epi-cicloide sono una bs + x - (a--b) cos j&GT; - b accogliente = (" + b) peccato - il peccato b b a + b * 108. Il cardioide. - Un caso particolare importante di theepicycloid è il cardioide, in cui a = b; ma invece di

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RM2AJGJ80–Piano e solido di geometria analitica; un elementare di un libro di testo . 160 Geometria analitica [Ch. XII, § 86 intersezione delle tangenti in corrispondenza delle estremità della chordsthrough qualsiasi punto fisso. Questa struttura ci permette di costruire i polari di anypoint; per qualsiasi numero di punti su una polare può essere. Fig. 87. determinata dal trovare le intersezioni delle tangenti inil estremità delle corde attraverso il punto. 2. I polari di un qualsiasi punto P1 rispetto ad un centralconic è parallelo alla tangente al punto dove il diameterthrough P1 taglia la conica. Y

RM2AJGEJE–Piano e solido di geometria analitica; un elementare textbook . un-ticians erano la Trisection di un angolo e la duplicazione dei Cubeby l aiuto di riga e compasso da soli. Essa ha di recente dimostrato chela soluzione di questi problemi in questo modo è impossibile. Entrambi problemsinvolve la soluzione di una equazione cubica, ed entrambi possono essere fatti dependupon la costruzione di due significa proporzionali tra due straightlines. Ciò è stato ottenuto in vari modi da aiuti di higherplane curve, e fu per questo scopo che sia il Conchoid andCissoid sono state inventate. 200 Geometria analitica [Ch. XV,

RM2AJGPG8–Piano e solido di geometria analitica; un elementare textbook . pendicu-lar alla tangente attraverso il punto di contatto. Per esempio la tangente all'ellisse è stata foundto essere b2xxx + A2yxy = a2b2. Una perpendicolare a questo linewill hanno la forma di un2yxx - b2xYy = k. Poiché il normalpasses attraverso Pv k = cfiy^^ - b2x^jv e il equationof il normale diventa un2yxx - b2xxy = (a2 - b2)x1yv In modo simile, l'equazione della normale thehyperbola è + ^ ^ = + ^ ^ e la parabola è yxx + my = x1yl + myv lo studente dovrebbe notare che queste formule valgono soltantocon le equazioni delle curve sono io

RM2AJGNYA–Piano e solido di geometria analitica; un elementare di un libro di testo . Fig. 72. Poiché la direzione di una curva in un punto qualsiasi lungo thetangent a quel punto, le due curve si intersecano ortogonalmente,se le loro tangenti in corrispondenza del punto di intersezione sono perpen-dicular all'altra. Questo è evidentemente il caso qui,poiché la tangente all'ellisse biseca l'angolo esterno 136 Geometria analitica [Ch. X, § 78 tra i raggi di focale, e la tangente al hvperbolabisects l'angolo interno. Le curve pertanto intersectorthogonally. 4. La tangente in un punto qualsiasi di una parabola rende equalangles con il raggio focale

RM2AJH48M–Piano e solido di geometria analitica; un elementare textbook . quindi un semplice mezzo di representingposition in un piano da simboli algebrici. Questo sistema iscalled rettangolare, ed è un caso particolare di Cartesiancoordinates. In generale il sistema cartesiano il axsare non necessariamente perpendicolare all'altra. In casethey non sono perpendicolari, il sistema è chiamato obliquo.Tutte le definizioni date sopra attesa per il obliquesystem. In Fig. 8, NP è l'ascissa di P e MP è la sua ordi-nate. Mentre le coordinate rettangolari sono più spesso usedbecause loro formule aresimpler, eppure non si oc-s

RM2AJGM6H–Piano e solido di geometria analitica; un elementare textbook . relativi a ogni altro che eachbisects tutte le corde in parallelo agli altri. Tali diametersare detto di essere coniugato alla eacli altri. Le loro equazioni sono y = lxx, e y = l2x, dove Zx e l2 sono collegate da relazioni givenabove. Nella ellisse, lx e l2 hanno segni opposti, eil diametri devono passare attraverso differenti quadranti.Ma nell'iperbole, lx e l2 hanno il medesimo segno, eil diametri devono passare attraverso lo stesso quadrante. Caso Ineither, come lx diminuisce in valore numerico, l2 aumenta,e come un diametro si avvicina il majo

RM2AJGAE6–Piano e solido di geometria analitica; un elementare textbook . le coordinate del punto linea wherethe tocca il dirigere la curva, mentre la z-coordi nate può avere qualsiasi valore a prescindere. L'equazione in x e y di dirigere la curva è quindi il solo necessaryrelation tra le coordinate di ogni punto del sur-faccia, e come non è soddisfatta da qualsiasi punto non sullasuperficie, è (quando interpretato come una equazione in threedimensions) l'equazione della superficie. In modo simile, può essere mostrato che la equationsof superfici cilindriche i cui elementi sono parallele theJT-asse, contengono

RM2AJH3CD–Piano e solido di geometria analitica; un elementare textbook . per tutti i casi possibili. Potrebbe seemat prima che in Fig. 12 l'equazione KPt=M1P1 - non MXKdoes attesa. Ma se MXK è sostituito dal suo pari- KMV l'equazione è in una volta visto per essere vero. Lasciate che lo studente disegnare varie figure con la pointsin differenti quadranti e assicurare a sé che la samedemonstration vale per tutti. Si deve avere cura di readthe linee sempre nella direzione corretta. Per simplicitythe figure di solito sarà costruito nel primo quad-rant, ma lo studente deve sempre soddisfare se stesso verificarel'assenza restrictio

RM2AJH23X–Piano e solido di geometria analitica; un elementare textbook . Egli punto (- 5, - 5) fino al punto di divisione. 7. Le coordinate dei vertici di un triangolo sono (2, 1),(3, -2), (-4 - 1). Trovare l'equazione delle mediane,e mostrano che le coordinate del punto di intersezione diqualsiasi due mediane soddisfano l'equazione del terzo, e cheil tre mediane soddisfano pertanto in un punto. 8. Che cosa sono le equazioni delle diagonali del rectanglewhose vertici sono (0, 0), (a, 0), (0, 6), e (a,b) ? Trovare thepoint di intersezione, e mostrano che essi dividere ogni altro. 9. Quale sistema di linee è r

RM2AJGGJ5–Piano e solido di geometria analitica; un elementare textbook . cus su tangenti in (a) ellisse, (5) iperbole,(c) parabola. 6. Trovare il locus di intersezione delle tangenti a theends coniugato di diametri di un ellisse. Nota. - Risolvere questo come un caso speciale del problema 3. 7. Trovare il locus di intersezione delle tangenti inil estremità dei diametri di coniugato di un'iperbole. 8. Raggi vectores sono disegnati ad angoli retti da ilcentro di un ellisse. Trovare il locus dell'intersezione oftangents alle loro estremità. 9. Trovare il luogo del punto di mezzo di corde joiningthe termina di coniugato diamet

RM2AJGEA3–Piano e solido di geometria analitica; un elementare textbook . valore nella seconda equazione e sostituendo in laprima, abbiamo x = a vers-1 (-) - V2 ay - y2. Ma questa singola equazione non è così conveniente utilizzare inquanto coppia di equazioni da cui è stato ottenuto. Equazioni Thesetwo, contenente una terza variabile, sono equivalentto la singola equazione di cui 6 è stato eliminato.Il luogo è costituito da un numero infinito di rami,simile a quello mostrato in Fig. 103, che si estende sia lacoppia di destra e di sinistra dell'origine. 106. La ipocicloide.-La traiettoria descritta da un punto sullato circumferen

RM2AJGFT8–Piano e solido di geometria analitica; un elementare textbook . semicubical parabola, e presenta la forma mostrata in Fig. 98. 105 19G geometria analitica [Ch. XV, § 102 tutte le parabole sono simili a uno di questi tre formsaccording al valore dato da n. Lasciate che lo studente di tracciare la locusfor vari valori di n. Lasciate himalso mostrano che se n è un eveninteger, o una frazione di un evennumerator e una strana denomina-tor, la curva è simile alla parabola theordinary; se n è un oddinteger, o una frazione di un oddnumerator e una strana denomina-tor, la curva è simile a quella di Fig. 97 ;mentre, se n è una frazione wit

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