. Un trattato sulla teoria matematica dell'elasticità . ies, una prima approssimazione ai loro valori può essere ottenuta sostituendo 1 + e con l'unità. Per la esti-mazione di K, K, T possiamo quindi ignorare la distinzione tra ds^ e dsand scrivere le nostre formule , dL dvu diu , , dig dn^ dus , dL diih dn, T = Lj-J- + V%> -J- Come OS come .(6) i coseni direzionali L,... possono essere espressi in termini di tre angles6, yjr, f), come è usuale nella teoria del moto di un corpo rigido. Sia 6 l'angolo che l'asse di z in Pj realizza con l'asse fisso di z, yjr l'angolo a cui è parallelo un piano

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. A treatise on the mathematical theory of elasticity . ies, a first approximationto their values can be obtained by replacing 1 + e by unity. For the esti-mation of K, K, T we may therefore ignore the distinction between ds^ and dsand write our formulae , dL dvu diu , , dig dn^ dus , dL diih dn, T = Lj-J- + V%> -J— + ?l3 J- . as OS as .(6) The direction-cosines L, ... can be expressed in terms of three angles6, yjr, (f), as is usual in the theory of the motion of a rigid body. Let 6 bethe angle which the axis of z at Pj makes with the fixed axis of z, yjr theangle which a plane parallel to these axes makes with the fixed plane of (x, z), (j) the angle which the principal plane {x, z) of the rod at Pi makes with theplane zPi^. Then the direction-cosines in question are expressed by theequations ?i=-sini/r sin ^-l-cos (^cosi^cosS, nii = cosi/rsia(^ + sinA/rcos0cosd, »i=—sinflcos^, jij= - sin >/f cos -?3= sinflcosi/f, 7713 = sin dain^, %= cos 5. j (7). Fig. 46. 392 EQUATIONS OF EQUILIBRIUM [CH. XVIII The relations connecting dff/ds, d}rjds, d4>/ds with k, k t are obtained atonce from Fig. 46 by observing that k, k , r are the projections on theprincipal torsion-flexure axes at Pj of a vector which is equivalent to vectorsdOjds, d-jr/ds, d(l>/ds localized in certain lines. The line P^^ in which d6/dsis localized is at right angles to the plane zP^z, and d^/ds and d(f)/ds arelocalized in the lines PjZ and P^z. We have therefore the equations K = -=- sin 0 — -J- sin tf cos <p, i^ —-r cos ^ + -j- sin ti sin <p, , = ^ + *l^cos^ (8) ds ds 254. Equations of equilibrium. When the rod is deformed the action of the part of it that is on one sideof a cross-section upon the part on the other side is expressed, in the usualway, by means of tractions estimated per unit of area of the section. Thesetractions are statically equivalent to a force acting at the centroid of thesection and a couple. The axis of z being directed along

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